математический портал

Арифметика Диофанта


     На IV века приходится деятельность Диофанта, которая ярко выделяется на общем фоне научного застоя как проявление высокого и оригинального таланта. Трудно назвать предшественников, которые подготовили новое направление греческой математики, который отразился на трудах Диофанта; не имел он и последователей, ибо вслед за его времени (царствование Юлиана «Отступника» с середины III в н.э.) наступает окончательный упадок язычества, а с ним и всей античной науки.
     Хотя отсутствие у позднейших авторов ссылок на предшественников Диофанта можно объяснить ранней потерей их произведений, и, следовательно, считать Диофанта лишь одним из создателей эллинской алгебры того времени, все же, если учесть культурные условия эпохи, приходится искать происхождение новых приемов на Дальнем Востоке, для связей с которым Александрия была таким удобным международным пунктом. Введение сексагезимальных дробей вавилонян, восточный характер новых философских и религиозных учений, посольства из Индии при дворах римских императоров, указания в остатках древнеиндийской письменности на отношения с греками, высокое развитие торговли Александрии с Индией во II и III ст. н. э. - все это делает весьма вероятным предположение о влиянии на приемы Диофанта осведомленности с алгеброй индейцев.
     Так или иначе, но математика Диофанта очень отличается от всего, что мы видели у греков раньше; его «Арифметика» больше напоминает те вы-клады индийской алгебры конца V века, которые пришли к нам, чем арифметику Евклида или Накомаха. Арифметические исследования свойств чисел интересуют Диофанта очень мало; в этом отношении он не делает ни шагу вперед, пользуясь тем самим понятием исключительно рационального положительного числа, которое равно и признавалось за число эллинской арифметикой. Но это старое понятие становится в его руках объектом совершенно новых, чисто алгебраических операций.
     Диофант дает решения уравнений, совершенно свободное от геометрических построений, геометрический анализ превращается в алгебраический. В Диофанта же впервые видим алгебраическую символику, хотя еще не последовательно проводимую; она составляет простое сокращение языка со всеми грамматическими изменениями слов.
     «Арифметика» Диофанта, с 13 книг которой до нас дошло 6 (очевидно, первых), причем с большими пропусками, представляет собой не теоретическое изложение, а ряд систематически расположенных задач, к которым представлены теоретические объяснения. Первая книга содержит главным образом определены задачи, которые выражаются уравнениями первой или второй степени, остальные книг дает преимущественно ряд неопределенных задач возрастающей сложности на уравнение второй степени.
     Правило решения уравнений изложен так: «Когда задача сведена к уравнению, к обеим частям которого входят одинаковые степени неизвестного с разными коэффициентами, - надо от равных отнимать поровну, пока один член не равен одному члену. Если к одной или обеих частей уравнения входят члены, вычитаются, то надо добавлять их к обеим частям, пока все члены не станут слагаемыми, и затем снова отнимать от обеих частей, пока у них не останется по одному члену». Применяя это правило к решению какого-либо уравнения, например, 3x^2-x-7=4x^2+12-x^2-10x
     мы написали в современном обозначении так:
3x^2-x-7=4x^2+12-x^2-10x
+
x^2+10x+7+7+x^2+10x
4x^2+9x=4x^2+19
-
4x^2-4x^2
9x=19
     или, в случае уравнения:
3x^2+x-5=x^2+x+1
3x^2+x=x^2+x+6
2x^2=6
     Правило применяется в равной уравнений первой степени, так и к неполных квадратных, так и в том и другом случае после выполнения указанных действий в обеих частях уравнения получаем по одному члену.
     «На окончание, - продолжает Диофант, - я покажу, как решают задачи, когда, наконец, достаем два члена, равные одному». Это обещание касалось, очевидно, полных квадратных уравнений, но для нас она осталась невыполненной, так соответствующая часть «Арифметики» утеряна.
     Возведение уравнений к общему виду производилось, как видно из указаний Диофанта к одной из задач книги VI, которая приводит к уравнению
{1/x^2}+196x^2-336x-{24/x}+172=196x^2+{1/x^2}
     по правилу: «добавь к обеим частям то, что вычитается; отними сходные с подобных и умножь все на х; тогда получишь: 336x^2+24=172x
     Задачи на полные квадратные уравнения, случаются в других разделах «Арифметики», позволяют сделать вывод, что Диофант владел общим приемом решения, но знал только об одном корень квадратного уравнения, причем всегда рациональный и положительный. Так, задача «найти два числа, которых сумма и произведение равняются данным числам» только тогда имеет решение, когда «квадрат половины суммы искомых чисел превышает произведение их на квадратное число». Действительно, если данную сумму обозначить через s, а Произведение через р, то искомые будут:
{s/2}+sqrt{{(s/2)}^2-p} и {s/2}-sqrt{{(s/2)}^2-p}
     они будут выражаться числами рациональными (а их только и знал Диофант), если под знаком корня будет точный квадрат, тоесть {1/4}s^2-p=a^2 Уравнения, которое мы привели выше, как, например, 2x^2=6 для Диофанта не имеет решения, поскольку x=sqrt{3} не является число (рациональное). Задачи «Арифметики» всегда приводятся в общем виде, но, выражая их уравнением, Диофант выбирает такие отдельные значения данных чисел, чтобы иметь рациональный положительный решение: всякий другой, иррациональный, отрицательный, мнимый, в глазах автора не существует.
     «Арифметика» не дает решений уравнений кубических; единую задачу, которая приводит к ним: «Найти такое кубическое число, которое было бы на 2 больше квадратного числа», - решен в обход кубического уравнения.
     Обозначив кубическое число через (x-1)^3 , а квадратное - через (x+1)^2 , Диофант достает уравнение (x-1)^3=(x+1)^2+2 или x^3-3x^2+3x-1=x^2+2x+3 Дальнейшие выкладки не приводится, но обычный прием Диофанта легко сводит это кубическое уравнение с уравнением первой степени: x^3+x=4x^2+4
x(x^2+1)=4(x^2+1)
x=4
     Отсюда: кубическое число есть 3^3=27 , а квадратное 5^2=25
     Отбор обозначений, с помощью которых эту задачу выражено уравнением, является примером характерной особенности алгебраического анализа Диофанта.
     В заключение укажем на характерную черту Диофанта, что выделяет его среди всего ряда крупных греческих геометров. Никаких доказательств правил «Арифметики» он не дает, они оправдываются тем, что их применение дает числа, соответствующие требованиям задачи.

Александр Рыженко © lineyka.inf.ua, 2009 - 2012.